⑲ 핵심 — 덧셈과 뺄셈은 계수의 계산일 뿐이고, 뺄셈은 부호를 전부 바꾸는 한 단계가 더 있다.
예제 2. $(x+3)(2x-1)$을 전개하고, 그 결과에 2를 더한 식을 $x+3$으로 나눈 몫과 나머지를 구하시오.
① 전개부터 한다 — 분배법칙을 쓴다.
② x를 뒤 식의 두 항에 곱한다 — x·2x = 2x², x·(-1) = -x다.
③ 3을 뒤 식의 두 항에 곱한다 — 3·2x = 6x, 3·(-1) = -3이다.
④ 네 항을 모두 적는다 — 2x² - x + 6x - 3이다.
⑤ 동류항을 모은다 — -x + 6x = 5x다.
⑥ 전개 결과 — 2x² + 5x - 3이다.
⑦ 여기에 2를 더한다 — 2x² + 5x - 1이다.
⑧ 이제 x+3으로 나눈다 — 세로셈을 세운다.
⑨ 최고차항끼리 나눈다 — 2x² ÷ x = 2x다. 이것이 몫의 첫 항이다.
⑩ 2x를 x+3에 곱한다 — 2x² + 6x다.
⑪ 빼 준다 — (2x² + 5x) - (2x² + 6x) = -x다.
⑫ 남은 상수항을 내린다 — -x - 1이 남았다.
⑬ 다시 최고차항끼리 나눈다 — -x ÷ x = -1이다. 몫의 둘째 항이다.
⑭ -1을 x+3에 곱한다 — -x - 3이다.
⑮ 빼 준다 — (-x - 1) - (-x - 3) = 2다.
⑯ 멈출 때인지 본다 — 나머지 2는 상수라 나누는 식보다 차수가 낮다. 여기서 끝이다.
⑰ 답을 쓴다 — 몫은 2x - 1, 나머지는 2다.
⑱ 검산한다 — (x+3)(2x-1) + 2를 계산한다.
⑲ 앞서 구한 전개가 2x² + 5x - 3이므로 2를 더하면 2x² + 5x - 1이다 — 처음 식과 같다.
⑳ 핵심 — 곱셈과 나눗셈은 서로 되돌리는 관계다. 그래서 나눗셈 검산은 곱셈으로 한다.
실수·주의점
동류항이 아닌 항을 더하는 실수를 조심하세요. 3x + 3x²은 6x³이 아니라 그대로예요.
괄호 앞의 빼기를 첫 항에만 적용하는 실수 — 괄호 안 모든 항의 부호를 바꿔야 해요.
(a+b)²을 a²+b²으로 쓰는 실수 — 가운데 2ab를 빠뜨린 거예요.
문자끼리 곱할 때 차수를 곱하는 실수 — x²·x³은 x⁶이 아니라 x⁵예요.
나눗셈에서 뺄 때 부호를 실수 — 세로셈의 빼기는 아래 식 전체의 부호를 바꾸는 거예요.
나머지가 남았는데 계속 나누려는 실수 — 나누는 식보다 차수가 낮아지면 멈춰요.
검산을 건너뛰는 실수 — 값을 하나 대입하면 계산 실수를 대부분 잡아낼 수 있어요.
심화·응용
왜 차수 순서로 정리하는가
다항식을 내림차순으로 쓰는 것은 규칙이라기보다 실수를 줄이는 장치다. 자릿수를 맞춘 세로셈이 암산보다 정확한 것과 같은 이유다. 항이 많아질수록 이 습관의 값어치가 커진다.
계산기가 하는 일과 사람이 하는 일
컴퓨터도 다항식을 계수의 목록으로 저장해 계산한다. 2x² + 5x - 3은 [2, 5, -3]으로 다뤄진다. 우리가 손으로 하는 계수 계산이 곧 기계가 하는 계산이다. 방식이 다르지 않다는 뜻이다.
지금 다지는 것이 어디로 이어지는가
여기서 익힌 곱셈은 다음 강의 인수분해에서 거꾸로 쓰인다. 곱셈 공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 그것이 인수분해 공식이다. 그래서 곱셈이 손에 붙으면 인수분해가 훨씬 수월해진다. 지금 시간을 쓰는 것이 나중을 줄이는 셈이다.
다음 강에서는 인수분해 공식과 다항식의 인수분해를 다룬다.
핵심 포인트
다항식 계산은 차수를 자릿수처럼 맞춰 하는 계산이에요.
덧셈과 뺄셈은 동류항의 계수만 더하고 빼면 돼요.
뺄셈은 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼 뒤 더하는 거예요.
곱셈은 모든 항을 하나씩 곱하고 동류항을 모으는 절차예요.
나눗셈은 A = BQ + R로 검산할 수 있어요.
요약
이번 강에서는 항·계수·차수·상수항의 뜻과 동류항을 기준으로 하는 다항식의 덧셈과 뺄셈, 괄호 앞 빼기를 모든 항에 나눠 주는 절차를 다뤘어요. 이어 분배법칙에 따른 곱셈과 자주 쓰는 곱셈 공식, 최고차항부터 차례로 몫을 세우는 나눗셈과 A = BQ + R 검산법을 정리했습니다. 다음 강에서는 인수분해 공식과 다항식의 인수분해를 다룹니다.
