$$(x-2)(x-3)=0 ;\Rightarrow; x=2 \text{ 또는 } x=3$$
앞 강에서 익힌 인수분해가 여기서 그대로 쓰인다. 인수분해가 되는 식이라면 가장 빠른 방법이다.
⚠️ 주의 — 반드시 우변이 0이어야 한다. $(x-2)(x-3)=2$에서 곧바로 x-2=2라고 쓰면 틀린다. 먼저 전개해 0으로 정리한다.
방법 2 — 완전제곱식으로 고치기
인수분해가 안 될 때 쓴다. 좌변을 $(x+p)^2 = q$ 꼴로 만든 다음 제곱근을 취한다.
x의 계수의 절반을 제곱한 값을 양변에 더하는 것이 요령이다.
$$x^2+6x+4=0 ;\to; x^2+6x=-4 ;\to; (x+3)^2=5$$
6의 절반은 3, 3의 제곱은 9다. 양변에 9를 더하면 좌변이 완전제곱식이 된다.
⚠️ 주의 — 제곱근을 취할 때 $\pm$를 빠뜨리면 근 하나를 잃는다. 가장 흔한 실수다.
방법 3 — 근의 공식
완전제곱식 과정을 일반형에 그대로 적용해 만든 공식이다.
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
어떤 이차방정식이든 통한다. 다만 계수가 간단하면 인수분해가 더 빠르니, 인수분해를 먼저 시도하고 안 되면 공식으로 간다.
💡 핵심 정리 — 공식에 넣기 전에 반드시 일반형으로 정리하고 a, b, c를 부호와 함께 적어 둔다.
계수가 분수나 소수일 때
$$0.2x^2 - 0.5x + 0.3 = 0$$
이런 식은 그대로 풀지 않는다. 양변에 같은 수를 곱해 계수를 정수로 만든 다음 시작한다. 위 식은 양변에 10을 곱해 $2x^2-5x+3=0$으로 바꾼다.
분수 계수라면 분모의 최소공배수를 곱한다. 등식의 양변에 0이 아닌 같은 수를 곱해도 근은 바뀌지 않는다.
⚠️ 주의 — 곱할 때 모든 항에 빠짐없이 곱해야 한다. 상수항을 빠뜨리는 실수가 잦다. 우변이 0이라도 0에 10을 곱하면 여전히 0이니 그 자리는 그대로다.
판별식으로 실근의 개수를 미리 안다
근의 공식에서 제곱근 안의 값 $b^2-4ac$를 판별식이라 하고 D로 쓴다. 이 값의 부호가 근의 성격을 정한다.
D의 부호
실근의 개수
그래프와 x축
D > 0
서로 다른 두 실근
두 점에서 만남
D = 0
중근(한 개)
한 점에서 접함
D < 0
실근 없음
만나지 않음
D < 0이면 제곱근 안이 음수가 되어 실수 범위에서 값을 가질 수 없다. 그래서 실근이 없다고 말한다.
⚠️ 주의 — 판별식은 근을 구하지 않고 개수만 알려 준다. "몇 개인가"를 묻는 문제에서는 끝까지 풀 필요가 없다.
예시 문제·풀이
예제 1. $x^2-5x+6=0$과 $x^2+6x+4=0$을 각각 알맞은 방법으로 푸시오.
① 첫 식부터 본다 — 이미 일반형이다.
② 인수분해가 되는지 시험한다 — 곱해서 6, 더해서 -5인 두 수를 찾는다.
③ 6의 약수 쌍을 적는다 — (1, 6)과 (2, 3)이다.
④ 부호를 정한다 — 곱이 양수, 합이 음수이므로 둘 다 음수다.
⑤ -2와 -3이 맞다 — 곱 6, 합 -5다.
⑥ 인수분해한다 — (x-2)(x-3)=0이다.
⑦ 곱이 0이므로 각각을 0으로 둔다 — x=2 또는 x=3이다.
⑧ 검산한다 — x=2를 넣으면 4-10+6=0으로 맞다.
⑨ 둘째 식으로 넘어간다 — 곱해서 4, 더해서 6인 정수는 없다.
⑩ 그래서 완전제곱식을 쓴다 — 여기서 방법을 바꾸는 판단이 중요하다.
⑪ 상수항을 오른쪽으로 옮긴다 — x²+6x = -4다.
⑫ x의 계수 6의 절반은 3이다.
⑬ 3의 제곱인 9를 양변에 더한다 — 한쪽만 더하면 등식이 깨진다.
⑭ 좌변은 (x+3)², 우변은 -4+9 = 5다.
⑮ 제곱근을 취한다 — x+3 = ±√5다.
⑯ 부호 두 가지를 모두 남긴다 — 여기서 하나를 빠뜨리기 쉽다.
⑰ 답은 x = -3+√5 또는 x = -3-√5다.
⑱ 검산한다 — 두 근의 합은 -6, 곱은 9-5 = 4다.
⑲ 원래 식의 계수와 맞는지 본다 — 합 -6, 곱 4로 일치한다.
⑳ 핵심 — 인수분해가 되면 인수분해로, 안 되면 완전제곱식이나 근의 공식으로 간다. 방법을 고르는 것도 풀이의 일부다.
예제 2. $2x^2-5x+3=0$을 근의 공식으로 풀고, $x^2-4x+k=0$이 중근을 가질 때 k를 구하시오.
① 앞 식의 a, b, c를 적는다 — a=2, b=-5, c=3이다.
② 부호를 반드시 함께 적는다 — b를 5로 쓰면 답이 틀어진다.
③ 판별식을 먼저 계산한다 — D = b²-4ac다.
④ b²을 구한다 — (-5)² = 25다. 음수의 제곱은 양수다.
⑤ 4ac를 구한다 — 4·2·3 = 24다.
⑥ D = 25-24 = 1이다 — 양수이므로 서로 다른 두 실근이다.
⑦ 근의 공식에 넣는다 — 분자는 5±√1이다.
⑧ √1은 1이다 — 분자는 5±1이다.
⑨ 분모는 2a = 4다.
⑩ 두 값을 계산한다 — (5+1)/4 = 3/2, (5-1)/4 = 1이다.
⑪ 검산한다 — x=1을 넣으면 2-5+3 = 0으로 맞다.
⑫ 뒤 문제로 넘어간다 — 중근 조건을 묻고 있다.
⑬ 중근은 D = 0일 때다 — 판별식만 쓰면 된다.
⑭ 근을 구할 필요가 없다 — 여기서 시간을 아낀다.
⑮ a=1, b=-4, c=k를 확인한다.
⑯ D = (-4)² - 4·1·k = 16-4k다.
⑰ 0으로 놓는다 — 16-4k = 0이다.
⑱ k = 4다.
⑲ 확인한다 — x²-4x+4 = (x-2)²이므로 x=2가 중근이다.
⑳ 핵심 — 개수만 물으면 판별식으로 끝난다. 근을 구하라는 말이 없으면 끝까지 풀지 않는다.
실수·주의점
우변이 0이 아닌데 인수분해 풀이를 쓰는 실수를 조심하세요. 먼저 0으로 정리해요.
계수의 부호를 빼고 읽는 실수 — b가 -5인데 5로 쓰면 답이 달라져요.
제곱근을 취할 때 ±를 빠뜨리는 실수 — 근 하나가 사라져요.
완전제곱식을 만들 때 한쪽에만 더하는 실수 — 양변에 똑같이 더해야 해요.
판별식에서 4ac의 부호를 놓치는 실수 — c가 음수면 -4ac가 양수가 돼요.
실근이 없다를 근이 없다로 읽는 실수 — 실수 범위에 없다는 뜻이에요.
개수만 묻는데 끝까지 푸는 실수 — 판별식으로 답이 나와요.
심화·응용
근의 공식은 어디서 왔나
근의 공식은 외워야 하는 낯선 식이 아니다. 일반형 $ax^2+bx+c=0$에 완전제곱식 방법을 그대로 적용한 결과다. 양변을 a로 나누고, x 계수의 절반을 제곱해 더하고, 제곱근을 취하면 그 공식이 나온다. 한 번 직접 유도해 보면 공식이 훨씬 오래 기억에 남는다.
근과 계수의 관계
$ax^2+bx+c=0$의 두 근을 더하면 $-b/a$, 곱하면 $c/a$가 된다. 예제 1의 둘째 식에서 합이 -6, 곱이 4였던 것이 이 관계다. 근을 구하지 않고도 합과 곱을 알 수 있다는 뜻이라 검산 도구로 아주 쓸모 있다.
판별식이 말해 주는 그림
D의 부호는 다음 강에서 배울 이차함수 그래프와 x축의 관계를 그대로 나타낸다. 방정식의 근이 곧 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표이기 때문이다. 지금은 세 경우를 구별할 수 있으면 충분하다.
다음 강에서는 이차함수의 그래프와 최대·최소를 다룬다.
핵심 포인트
이차방정식은 먼저 일반형으로 정리하고 부호까지 읽어요.
인수분해 풀이는 우변이 0일 때만 쓸 수 있어요.
완전제곱식은 x 계수의 절반을 제곱해 양변에 더해요.
근의 공식은 어떤 이차방정식에도 통해요.
판별식의 부호만으로 실근의 개수를 알 수 있어요.
요약
이번 강에서는 이차방정식의 일반형과 근의 뜻, 곱이 0인 성질을 쓰는 인수분해 풀이, x 계수의 절반을 제곱해 더하는 완전제곱식 풀이를 다뤘어요. 이어 어떤 경우에도 통하는 근의 공식과, 제곱근 안의 값인 판별식의 부호로 실근의 개수를 판단하는 방법을 정리했습니다. 다음 강에서는 이차함수의 그래프와 최대·최소를 다룹니다.
