두 점 사이의 거리와 직선의 방정식

학습목표

이 강을 다 읽으면 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 피타고라스 정리로 구할 수 있어요. 이어 기울기와 한 점으로 직선의 방정식을 세워 그래프를 그리고, 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 판단할 수 있게 됩니다.

배경·개념 도입

지도 위 두 지점 사이의 거리를 어떻게 계산할까?

가로로 간 거리와 세로로 간 거리를 알면 직각삼각형이 만들어진다. 나머지는 피타고라스 정리다.

💡 좌표평면은 도형 문제를 계산 문제로 바꾸는 장치다. 그림을 그리지 않고도 답을 낼 수 있게 된다.

중학교에서 도형은 그림으로 다뤘다. 각이 같다, 변이 같다 같은 관계를 눈과 논리로 따졌다.

좌표를 도입하면 사정이 달라진다. 점에 숫자 짝을 붙이는 순간 거리도 기울기도 계산으로 나온다. 이것이 좌표기하의 출발점이다.

좌표를 쓰면 눈짐작이 끼어들 자리가 없다는 것도 장점이다. 그림으로는 비슷해 보이는 두 직선도 기울기를 계산하면 평행인지 아닌지 바로 갈린다.

이번 강에서 새로 외울 공식은 사실상 두 개뿐이다. 거리 공식과 직선의 방정식이다. 둘 다 이미 아는 것에서 나오니, 어디서 왔는지 확인하며 가면 외우는 부담이 크게 준다.

핵심개념 상세

두 점 사이의 거리

두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 이렇게 구한다.

$$\overline{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

두 점을 잇는 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형을 떠올리면 된다. 밑변은 x좌표의 차, 높이는 y좌표의 차다.

💡 핵심 정리 — 차를 $x_1-x_2$로 써도 결과가 같다. 순서를 고민할 필요가 없다.