원의 방정식과 원과 직선의 위치 관계

학습목표

이 강을 다 읽으면 중심과 반지름으로 원의 방정식을 세우고, 일반형을 완전제곱식으로 고쳐 그래프를 그릴 수 있어요. 또 판별식과 거리 비교 두 가지 방법으로 원과 직선의 위치 관계를 판단할 수 있게 됩니다.

배경·개념 도입

원을 식으로 어떻게 나타낼까?

원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이다. 이 문장을 그대로 식으로 옮기면 원의 방정식이 된다.

💡 원의 방정식은 새로운 공식이 아니라, 앞 강에서 배운 거리 공식을 한 줄 옮겨 적은 것이다.

중심에서 거리가 항상 r인 점 (x, y)를 찾는다고 하자. 거리 공식에 따라 그 조건은 제곱근이 든 식이 된다.

양변을 제곱하면 제곱근이 사라지고 깔끔한 식이 남는다. 그것이 원의 방정식이다. 유도 과정이 한 줄이라 외우기보다 만들어 보는 편이 낫다.

직선을 배운 다음에 원을 배우는 이유도 여기 있다. 직선이 기울기로 정해지듯 원은 중심과 반지름 두 가지로 정해진다. 거리라는 같은 도구로 두 도형을 다룰 수 있기 때문이다. 순서대로 따라가면 된다.

핵심개념 상세

원의 방정식 표준형

중심이 $(a, b)$이고 반지름이 r인 원의 방정식은 이렇다.

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

중심이 원점이면 a와 b가 0이므로 $x^2+y^2=r^2$로 간단해진다.