중학교 수학의 첫 단원이 왜 하필 소인수분해일까요. 초등학교 5학년에서 약수와 배수를 배웠던 걸 떠올려 보세요. 그때는 12의 약수를 1, 2, 3, 4, 6, 12처럼 하나하나 세어서 찾았습니다. 수가 작을 땐 괜찮지만 360이나 1260처럼 커지면 이 방법은 금방 한계가 옵니다.
소인수분해는 수를 성분표로 바꿔 보는 방법입니다. 물질을 원소로 쪼개듯이, 자연수를 더 이상 쪼갤 수 없는 수인 소수들의 곱으로 쪼개는 거예요. 성분표만 있으면 약수를 세는 것도, 두 수의 최대공약수·최소공배수를 찾는 것도 한눈에 해결됩니다.
2022 개정 수학과 교육과정에서 중학교 1학년 '수와 연산' 영역의 첫 성취기준은 "소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다"입니다. 그리고 바로 다음 성취기준이 최대공약수와 최소공배수인데, 소인수분해를 이용하는 범위에서 다루도록 되어 있어요. 즉 이번 강은 다음 강에서 쓸 도구를 만드는 시간입니다.
핵심개념 상세
약수의 개수로 자연수를 세 종류로 나눈다
구분
약수의 개수
예
1
1개(1뿐)
1
소수
2개(1과 자기 자신)
2, 3, 5, 7, 11
합성수
3개 이상
4, 6, 8, 9, 12
소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신 딱 둘뿐인 수입니다. 합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수, 곧 약수가 3개 이상인 수예요.
소수처럼 보이는 합성수. 51, 57, 91은 홀수라 소수처럼 보이지만 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 91 = 7 × 13인 합성수입니다. 각 자리 수의 합이 3의 배수면 그 수도 3의 배수(51은 5+1=6, 57은 5+7=12)라는 판정법을 쓰면 빨리 걸러낼 수 있어요.
심화·응용
소인수분해의 결과는 하나뿐입니다. 곱하는 순서를 빼면 어떤 자연수든 소인수분해한 모양이 단 하나로 정해져요. 이걸 산술의 기본정리라고 부릅니다. 앞에서 12를 3×4로 쪼개든 2×6으로 쪼개든 같은 답이 나온 이유가 바로 이것이고, 다음 강에서 두 수의 소인수분해를 나란히 놓고 최대공약수를 구할 수 있는 근거이기도 합니다.
어떤 수가 소수인지 확인할 때 어디까지 나눠 봐야 할까요. 그 수의 제곱근보다 작거나 같은 소수까지만 확인하면 됩니다. 예를 들어 97이 소수인지 볼 때, 10 × 10 = 100이 97보다 크므로 10보다 작은 소수인 2, 3, 5, 7만 확인하면 돼요. 97은 짝수가 아니고, 9+7=16이라 3의 배수도 아니고, 0이나 5로 끝나지 않으며, 7 × 13 = 91과 7 × 14 = 98 사이라 7로도 나누어떨어지지 않습니다. 그러므로 97은 소수입니다.
약수의 개수도 소인수분해로 셉니다. 12 = 2² × 3에서 지수에 각각 1을 더해 곱하면 (2+1) × (1+1) = 6이고, 실제로 12의 약수는 6개입니다. 이 방법은 다음 강에서 자세히 다룹니다.
핵심 포인트
소수는 약수가 1과 자기 자신 둘뿐인 수, 합성수는 약수가 3개 이상인 수입니다.
1은 약수가 하나뿐이라 소수도 합성수도 아닙니다.
짝수 중 소수는 2 하나뿐이고, 30 미만의 소수는 10개입니다.
소인수분해는 소인수만의 곱으로 나타내는 것이라 곱셈식에 합성수가 남으면 안 됩니다.
같은 소인수는 거듭제곱으로 묶고, 2³은 6이 아니라 8입니다.
소인수분해 결과는 순서를 빼면 단 하나로 정해집니다.
요약
이번 강에서는 자연수를 약수의 개수로 1, 소수, 합성수 셋으로 나눠 보고, 1이 어느 쪽에도 속하지 않는 이유를 소인수분해의 유일성으로 확인했어요. 이어서 소인수분해의 뜻을 익히고 가지치기와 나눗셈 두 가지 방법으로 12 = 2² × 3, 60 = 2² × 3 × 5를 직접 구해 봤습니다. 답을 쓰기 전에 남은 수가 전부 소수인지 확인하는 습관, 그리고 곱해서 원래 수가 나오는지 검산하는 습관이 이 단원 실수의 대부분을 막아 줍니다.
다음 강에서는 소인수분해를 이용해 약수를 모두 구하는 방법과 약수의 개수를 세는 공식을 다룹니다.
참고 자료
교육부, 2022 개정 수학과 교육과정 — 중학교 1~3학년군 '수와 연산' 영역 성취기준(소인수분해, 최대공약수와 최소공배수). 국가교육과정정보센터(NCIC)에서 원문을 볼 수 있어요.
