소수와 합성수, 소인수분해의 뜻

학습목표

이 강을 다 읽고 나면 다음 세 가지를 할 수 있게 돼요.

• 자연수를 보고 소수인지 합성수인지 판단하고, 그 근거를 약수의 개수로 설명할 수 있어요.
• 1이 왜 소수도 합성수도 아닌지 이유를 들어 설명할 수 있어요.
• 12, 60 같은 수를 소인수분해하고 거듭제곱으로 정리해 쓸 수 있어요.

배경·개념 도입

중학교 수학의 첫 단원이 왜 하필 소인수분해일까요. 초등학교 5학년에서 약수와 배수를 배웠던 걸 떠올려 보세요. 그때는 12의 약수를 1, 2, 3, 4, 6, 12처럼 하나하나 세어서 찾았습니다. 수가 작을 땐 괜찮지만 360이나 1260처럼 커지면 이 방법은 금방 한계가 옵니다.

소인수분해는 수를 성분표로 바꿔 보는 방법입니다. 물질을 원소로 쪼개듯이, 자연수를 더 이상 쪼갤 수 없는 수인 소수들의 곱으로 쪼개는 거예요. 성분표만 있으면 약수를 세는 것도, 두 수의 최대공약수·최소공배수를 찾는 것도 한눈에 해결됩니다.

2022 개정 수학과 교육과정에서 중학교 1학년 '수와 연산' 영역의 첫 성취기준은 "소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다"입니다. 그리고 바로 다음 성취기준이 최대공약수와 최소공배수인데, 소인수분해를 이용하는 범위에서 다루도록 되어 있어요. 즉 이번 강은 다음 강에서 쓸 도구를 만드는 시간입니다.

핵심개념 상세

약수의 개수로 자연수를 세 종류로 나눈다

소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신 딱 둘뿐인 수입니다. 합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수, 곧 약수가 3개 이상인 수예요.

30보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29로 모두 10개입니다. 이 정도는 외워 두면 계산 속도가 확 달라져요. 그리고 입니다. 4 이상의 짝수는 전부 2로 나누어떨어지니까 약수가 3개 이상이 되거든요.