거듭제곱 표현과 약수 구하기

학습목표

이 강을 다 읽고 나면 다음 세 가지를 할 수 있게 돼요.

• 거듭제곱의 밑과 지수를 구분하고, 소인수분해 결과를 규칙에 맞게 표기할 수 있어요.
• 소인수분해를 이용해 어떤 수의 약수를 하나도 빠뜨리지 않고 모두 구할 수 있어요.
• 약수의 개수를 세는 공식이 왜 그렇게 되는지 설명하고, 그 공식을 쓸 수 있어요.

배경·개념 도입

앞 강에서 자연수를 소인수들의 곱으로 쪼개는 법을 배웠어요. 그런데 소인수분해는 그 자체가 목적이 아닙니다. 쪼개 놓은 성분표를 가지고 무엇을 할 수 있는지가 진짜 알맹이예요. 이번 강이 그 첫 번째 활용입니다.

초등학교에서는 약수를 이렇게 찾았습니다. 1로 나눠 보고, 2로 나눠 보고, 3으로 나눠 보고… 72쯤 되면 열두 번을 확인해야 하고 중간에 9나 24를 빠뜨리기 십상이에요. 소인수분해를 쓰면 약수를 처음부터 빠짐없이 만들어 낼 수 있고, 개수는 나눠 보지도 않고 곱셈 한 번으로 알 수 있습니다.

이 방법은 다음 강에서 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구할 때 그대로 이어집니다. "약수를 소인수분해로 다룬다"는 감각을 여기서 확실히 잡아 두면 뒤가 편해져요.

핵심개념 상세

거듭제곱의 용어와 표기 규칙

같은 수를 여러 번 곱한 것을 거듭제곱이라 하고 2×2×2 = 2³처럼 씁니다. 이때 아래에 쓴 2를 밑, 오른쪽 위에 작게 쓴 3을 지수라고 해요. 2³은 "2의 세제곱", 2²은 "2의 제곱"이라고 읽습니다.

소인수분해 결과를 쓸 때는 보통 두 가지 규칙을 지킵니다.

• 소인수를 작은 것부터 왼쪽에 차례로 씁니다.
• 같은 소인수가 여러 번 나오면 거듭제곱으로 묶습니다.

예를 들어 72를 2로 세 번, 3으로 두 번 나누면 72 = 2×2×2×3×3이고, 정리하면 72 = 2³ × 3²이 됩니다.

약수는 소인수를 "몇 개씩 골라 쓸까"의 문제다

72 = 2³ × 3²에서 72의 약수가 될 수 있는 수는 어떤 수일까요. 72를 나누어떨어지게 하려면 그 수에 2와 3 말고 다른 소인수가 들어 있으면 안 됩니다. 5가 들어 있으면 72를 나눌 수 없으니까요. 또 2를 네 개 쓸 수도 없어요. 72 안에 2가 세 개뿐이거든요.