유도해서 외우기 — 원의 넓이 공식으로 연습하기

학습목표

이 강을 다 읽으면 원의 넓이 공식이 왜 πr² 인지를 종이 한 장으로 직접 설명할 수 있게 됩니다. 같은 방식으로 부채꼴의 넓이 공식까지 만들어 보고, 유도 과정 전체를 세 줄로 압축해 기억하는 방법을 익힙니다. 공식을 잊어버렸을 때 그 세 줄만 떠올리면 다시 만들어 낼 수 있는 상태가 목표입니다.

배경·개념 도입

1강에서 공식은 문자열이 아니라 "어디서 나왔는지"까지 함께 저장해야 오래 남는다고 했습니다. 이번 강은 그 첫 단계인 유도를 실제로 해 봅니다. 연습 대상으로 원의 넓이를 고른 이유가 있습니다.

첫째, 결과가 아주 단순한데 유도는 전혀 뻔하지 않습니다. 원은 직선으로 된 도형이 아니라서 직사각형처럼 "가로×세로"로 잴 수가 없습니다. 그런데도 답이 πr² 이라는 깔끔한 식으로 나옵니다. 이 간극이 기억에 남습니다.

둘째, 이 유도의 아이디어가 나중에 계속 재활용됩니다. 곡선으로 둘러싸인 도형을 잘게 잘라 직선 도형으로 바꾼 뒤 다시 붙이는 발상은 부채꼴 넓이, 원뿔의 옆넓이, 나아가 고등학교의 적분까지 같은 뿌리입니다.

원의 넓이 자체는 초등 과정에서 원주율을 이용해 먼저 만나고, 중1에서 원과 부채꼴을 다루면서 호의 길이·부채꼴 넓이로 확장됩니다. 배치는 학교·교재에 따라 조금씩 다를 수 있지만, "원주율을 이미 알고 있다"는 전제 위에서 넓이를 다룬다는 점은 같습니다.

여기서 하나만 정확히 하고 갑시다. 원주율 π는 유도되는 값이 아니라 정의입니다. 어떤 원이든 (둘레) ÷ (지름) 이 같은 값이라는 사실에 π라는 이름을 붙인 것입니다. 그래서 둘레 = π × 지름 = 2πr 은 유도할 게 없는 출발점이고, 우리가 유도할 것은 넓이 쪽입니다.

핵심개념 상세

원을 중심에서 출발하는 선으로 피자처럼 잘게 자릅니다. 8조각, 16조각, 32조각… 조각 수를 늘려 갑니다. 이 조각들을 뾰족한 쪽이 위·아래로 번갈아 오도록 지그재그로 붙여 보세요.

• 조각이 적을 때(8조각)는 울퉁불퉁한 톱니 모양입니다.
• 조각을 늘릴수록 위아래 변이 점점 평평해지면서 직사각형에 가까워집니다.
• 이 직사각형의 세로는 조각의 뾰족한 부분 길이, 즉 원의 반지름 r 입니다.
• 가로는 위쪽에 놓인 호들의 길이를 다 더한 것입니다. 조각의 절반이 위로 갔으므로 원 둘레의 절반, 즉 2πr ÷ 2 = πr 입니다.